Équation diophantienne 2x + 7y = 3 - Corrigé

Énoncé

Résoudre l'équation $(E):2x+7y=3$ dans ${\mathbb{Z}}^2$ .

Solution

On applique l'algorithme d'Euclide pour $7$ et $2$ :
$\begin{array}{r}\begin{array}{|cccc|}\hline a& b& q& r\\ 7& 2& 3& 1\\ 2& 1& 2& 0\\ \hline\end{array}\begin{array}{l}\\ \times 1\\ \end{array}\end{array}$  
On a donc $\mathrm{PGCD}(2;7)=1$ , et comme $1$ divise $3$ , l'équation $(E)$ admet des solutions.

D'après l'algorithme d'Euclide, on a
$\begin{array}{rl}7=2\times 3+1& ⟺2\times (-3)+7\times 1=1\\ & ⟺2\times (-9)+7\times 3=3\end{array}$  
donc $(x_0;y_0)=(-9;3)$ est une solution particulière de $(E)$ .

Soit $(x;y)$ une solution de $(E)$ .
On a  $\begin{array}{rl}2x+7y=2\times (-9)+7\times 3& ⟺2(x+9)=7(3-y)\end{array}$ . 
On en déduit que $2$ divise $7(3-y)$ .
Or $\mathrm{PGCD}(2;7)=1$ , donc d'après le théorème de Gauss, $2$ divise $3-y$ , c'est-à-dire qu'il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que  $\begin{array}{r}3-y=2k⟺y=3-2k\end{array}$ .
On a alors
$\begin{array}{rl}2(x+9)=7(3-y)& ⟺2(x+9)=7\times 2k\\ & ⟺x+9=7k\\ & ⟺x=7k-9.\end{array}$    
Ainsi, les solutions de $(E)$ sont des couples de la forme $(x;y)=(7k-9;3-2k)$ avec $k\in \mathbb{Z}$ .

Réciproquement, soit $k\in \mathbb{Z}$ quelconque et $(x;y)=(7k-9;3-2k)$ .
On a  $\begin{array}{rl}2x+7y& =2(7k-9)+7(3-2k)=2\times (-9)+7\times 3=3\end{array}$ donc $(x;y)$ est solution de $(E)$ .

En conclusion, les solutions de $(E)$ sont données par $S=\{(7k-9;3-2k):k\in \mathbb{Z}\}$ .